邊長為1的正六邊形 不用說 當然是1個

那邊長為2的正六邊形呢??

我們可以先討論裡面有幾個邊長為1的正六邊形

首先，我們先畫出邊長為2的正六邊形

並將他切成好多個正三角形 (共有24個)

若我們自左上角開始討論邊長為1的正六邊形個數

並且，我們以六邊形最左上角的點代表整個六邊形

會發現有7個點可以， 而且此七點恰好是邊長為1的正六邊形的交點個數 (此處的"交點"是指 將正六邊形切成好多個正三角形的交點)

推廣: 邊長為3的正六邊形有幾個 邊長為1的正六邊形呢?

如果你有想像力，應該會發現他恰好是邊長為2的正六邊形的交點個數  (因為 相似形)

同理，當邊長為n時，你將會發現他恰好是邊長為 n-1的正六邊形的交點個數

/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////第一階段，大家還OK嗎?

現在我們想問

邊長為n的正六邊形中，有幾個邊長為2的正六邊形?

首先，邊長為2的正六邊形，n必然從2開始討論

n = 2時，有1個 (簡單)

n = 3時，同第一階段，你將會發現他恰好是邊長為1的正六邊形的交點個數

推廣: 當n =n 時，聰明的你應該知道，他恰好是邊長為 n-2的正六邊形的交點個數  (相似形again!!!)

在推廣:當n =n 時，會有幾個邊長為m的正六邊形呢?(n >= m)

答: n-m個

////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////第二階段，加油快成功了!!!

最後，我們想知道，邊長為n的正六邊形，內部有幾個正六邊形呢??

我們可以從邊長為1討論 ，這裡我們令要討論的正六邊形個數其邊長為m

m = 1 :   邊長為 n-1的正六邊形的交點個數

m = 2 :   邊長為 n-2的正六邊形的交點個數

m = m:   邊長為 n-m的正六邊形的交點個數

m =  n:  邊長為 0 (n-n) 的正六邊形的交點個數 (可視為1個點)

因此，邊長為n的正六邊形，內部正六邊形個數就是 邊長為m的正六邊形交點個數的和  (0>= m <n)

但邊長為m的正六邊形交點個數怎麼算，畫圖便可以知道他是   (m+1) + (m+2) + ... + (2m) +  (2m+1) + (2m) + ... +(m+1)   (麻煩你從邊長為2開始找規律囉)

由等差公式可知

其和等於 3m^2 + 3m + 1

其中 m從 0 ~ n-1

所以 SIGMA m = 0 到 n-1   ( 3m^2 + 3m + 1  )  = n^3

完畢!!!!

辛苦大家了~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~