一開始用 bits reverse 建表 + bits count 建表改良很久，n 極限大概只能到撐到 10^8 左右

改成研究公式解，但不怎麼容易，要解大量的遞迴關係式，計算幾乎靠 Maplesoft 了

時間、空間複雜度皆為 O(log N)

主要解出 2 個公式如下圖，整理後其實還蠻短的：

假設函數 F(N) 為此題解，

則

式 (1)：X( floor(log2(N)) ) = F(2^s - 1)，s 為最大的整數滿足 N > 2^s - 1，也就是 sum { f( i + reverse(i)) | i >= 1  且  i 的二進位表示法的長度 < N 的二進位表示法的長度 }

式 (2)：Y(i,j) 為將區間 [2^s, 2^(s+1)] 分成 2^(i+1) 等分，第 2 * j + 1 區間的總合, 每一組 i,j 可以決定一組 a,c,d,e,f,g,h,m

至於i,j 與 a,c,d,e,f,g,h,m 的關係可以，先寫個簡單的暴力解程式，列出 N <= 2^26 的解，觀察 式(1)及式(2)的 等差/等比 係數得到

ex: N = 45

解可折成 (1) 式 + { (2)式 } 二分法總合 = [1,31) + { [32,40) + [40, 44) + 45 }

P.S. 式(1)如果在 c 用pow() 函數，如果沒整理好，或是從 double 轉成 long的時機不對，在 N=10^15 時會誤差 1，因此吃了個NA，

如果改用位移 N < 8 時也會有問題，又吃個 NA，沒想到一式通用的方法，最後只好用 if-else 分兩段

參考

反轉 bit
https://stackoverflow.com/questions/746171/most-efficient-algorithm-for-bit-reversal-from-msb-lsb-to-lsb-msb-in-c/16994674

計算二進位中 1 的個數
https://en.wikipedia.org/wiki/Hamming_weight