觀察三角形個數變化

每一次變化都是把原本的三角形數量乘以3再加上中間空的三角形和外面的大三角形

所以

f(n) = f(n-1)*3+2

f(0) = 1

把每一項寫出來

f(1) = 3+2

f(2) = 3²+2*3+2

f(3) = 3³+2*3²+2*3+2

f(4) = 3⁴+2*3³+2*3²+2*3+2

f(n) = 3ⁿ+2*3^n-1+2*3^n-2+...+2*3+2

不看第一項，後面是一個等比級數，把2提出來並把順序前後交換

f(n) = 3ⁿ+2*(1+3+3²+...+3^n-2+3^n-1)

假設括號內=Sn

首項a = 1

公比r = 3

項數n

Sn = a(1-rⁿ)/(1-r)=1(1-3ⁿ)/(1-3)=(3ⁿ-1)/2代回去f(n)

f(n) = 3ⁿ+2*(3ⁿ-1)/2=3ⁿ+3ⁿ-1=2*3ⁿ-1