高中生程式解題系統

#41980: 答案推導過程

sam851015@gmail.com (多挖鼻孔有益身心健康)

學校 : 不指定學校
編號 : 277705
來源 : [123.192.228.253]
最後登入時間：
2024-11-09 20:16:56

b603. 拋物線方程式 | From: [123.192.228.253] | 發表日期 : 2024-09-16 02:47

這題純考你數學，已知頂點和拋物線上任意點的座標
知道頂點就相當於知道這個拋物線的對稱軸

令頂點為 $(x_1,y_1)$ ，則該拋物線的對稱軸為 $x=x_1$
可以將拋物線表示成下面這樣:

$f(x)=y=a(x-x_1)^2+y_1$

這時候只需要帶入另一個點的座標 $(x_2,y_2)$ ，就可以求出 a 的值

$f(x_2)=y_2=a(x_2-x_1)^2+y_1$

$\Rightarrow a=\frac{y_2-y_1}{(x_2-x_1)^2}$

把 a 代回去 f(x) 就是目標拋物線方程式

但這裡還有一些問題
題目要求所有的係數都必須為整數，且 y 的係數必須為正
我們沒辦法保證 a 一定是一個整數，所以這個方程式還需要再處理一下

$\begin{align*}y&=\frac{y_2-y_1}{(x_2-x_1)^2}\cdot(x-x_1)^2+y_1\\(x_2-x_1)y&=(y_2-y_1)(x-x_1)^2+y_1(x_2-x_1)\\(x_2-x_1)y&=(y_2-y_1)x^2+(-2x_1)(y_2-y_1)x+x_1(y_2-y_1)+y_1(x_2-x_1)\end{align*}$

這就是我們要的，係數為整數的方程式

剩下要處理就:

每一項的係數必須是互質 (也就是沒辦法繼續化簡的的意思)
y 的係數必須為正整數

這部分就自己做吧，如果還是不會做，可以參考一下

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#41981: Re: 答案推導過程

sam851015@gmail.com (多挖鼻孔有益身心健康)

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b603. 拋物線方程式 | From: [123.192.228.253] | 發表日期 : 2024-09-16 03:08

補充算法優化 (建議做完再看，內容反白):

如果你是根據我上面推導出來的公式做的，那就不需要同時求 4 個係數的最大公因數

只需要把 a 的那個分數化簡成最簡分數即可，直接從源頭處理

這樣就只需要做 1 次輾轉相除法，而非其他解題報告的 3 次

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