對於任意正整數 nn，平面上 nn 個圓最多可將平面切成的區域數可以使用數學推導得出。這個問題涉及到圓和圓之間的交點數量，以及這些交點如何影響區域的數量。

觀察

• 當 n=1n = 1 時，只有一個圓，它將平面切成 2 個區域。
• 當 n=2n = 2 時，兩個圓最多交於 2 個點，它們將平面切成 4 個區域。
• 當 n=3n = 3 時，三個圓最多交於 6 個點，它們將平面切成 8 個區域。
• 當 n=4n = 4 時，四個圓最多交於 12 個點，它們將平面切成 14 個區域。

遞推關係式

假設對 nn 個圓，最多能將平面切成的區域數為 R(n)R(n)。對於每增加一個圓，每個新的圓最多與之前的每個圓交於 2 點，並且每條交線最多將現有區域再分成 2 個。因此，增加一個圓會使得區域數增加最大數量。

經過數學推導，這個區域數量的最大值可以用以下公式表示：

R(n)=n2−n+2R(n) = n^2 - n + 2

驗證公式

• 當 n=1n = 1 時，R(1)=12−1+2=2R(1) = 1^2 - 1 + 2 = 2。
• 當 n=2n = 2 時，R(2)=22−2+2=4R(2) = 2^2 - 2 + 2 = 4。
• 當 n=3n = 3 時，R(3)=32−3+2=8R(3) = 3^2 - 3 + 2 = 8。
• 當 n=4n = 4 時，R(4)=42−4+2=14R(4) = 4^2 - 4 + 2 = 14。

結論

因此，對於任意正整數 nn，平面上的 nn 個圓最多可將平面切成 n2−n+2n^2 - n + 2 個區域。